Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（2，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过N（-1，0）的直线l交曲C于A，B两点，又AB的中垂线交y轴于点D（0，t），求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px，则

p

2

=2，由此能求出抛物线的方程．
（2）直线l的方程是y=k（x+1），联立

y=k(x+1) y2=8x

，消去x得ky²-8y+8k=0，再由根的判别别式和韦达定理能够推导出t的取值范围(

5 2

2

，+∞)．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px，则

p

2

=2，∴p=4，
所以，抛物线的方程是y²=8x．（4分）
（2）由题设知，直线l的斜率存在，故设直线l的方程是y=k（x+1），联立

y=k(x+1) y2=8x

，消去x得ky²-8y+8k=0，（6分）
显然k≠0，由△=64-32k²＞0，得0＜|k|＜

2

．（8分）
由韦达定理得，y₁+y₂=

8

k

，y₁y₂=8，
所以x1+x2=

y1+y2

k

-2=

8

k2

-2，则AB中点E坐标是（

4

k2

-1，

4

k

），（10分）
由k_DE-k=-1可得k³t-3k²-4=0，
所以，t=

4

k3

+

3

k

，令

1

k

 =x，则t=4x³+3x，其中|x|＞

2

2

，（12分）
因为t′=12x²+3＞0，所以函数t=4x³+3x是在（-∞，-

2

2

），（

2

2

，+∞）上增函数．
所以，t的取值范围是（-∞，-

5 2

2

）∪(

5 2

2

，+∞)．（15分）

点评：本题考查抛手线的性质和应用，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用．