Question

把正方形以边所在直线为轴旋转到正方形，其中分别为的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）、（2）见解析；（3）.

本试题主要是考查了空间立体几何中，线面平行的判定和线面垂直的判定以及运用空间向量法，或者几何法求解二面角的综合试题。熟练掌握线面平行和垂直度判定定理和性质定理，是解决该试题的关键。另外求解二面角的思路一般可以借助于三垂线定理来完成。
解：（1）设的中点为,连接
∵是的中点∴∥且          ……………(2分)
∵是的中点∴∥且，∴∥且
∴是平行四边形，∴∥     
∵平面,平面，∴∥平面    ……………(4分)
（2） ∵ 为等腰直角三角形， ,且是的中点 
∴  ∵平面平面 ∴ 平面 
∴                                          ………………(6分)
设，则在中，，
则， ∴ 
∴ 是直角三角形，∴
∵  ∴平面…（8分）
（3）分别以为轴建立空间直角坐标系如图，

设，则设,………(9分)
∵平面，∴ 面的法向量为= ……………(10分)
设平面的法向量为，∵ ,    
∴,  ， ∴, 
不妨设，可得                         ………………（11分）
，∴ =
∵ 二面角是锐角，∴ 二面角的大小..........（12分）