Question

12．数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）
（1）计算a₁，a₂，a₃，a₄，由此猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明此猜想；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2^n-1a_n，求证：$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）令n=1，2，3，4，可得前4项，再由数学归纳法即可得证；
（2）求得b_n，再由放缩法证明，即为$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＜$\frac{2}{{2}^{k}-1}$-$\frac{2}{{2}^{k+1}-1}$，运用裂项相消法，从第二项放缩即可得证．

解答 解：（1）由S_n=2n-a_n（n∈N^*），
可得a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1，
a₂=S₂-S₁=4-a₂-1，可得a₂=$\frac{3}{2}$，
a₃=S₃-S₂=6-a₃-$\frac{5}{2}$，可得a₃=$\frac{7}{4}$，
a₄=S₄-S₃=8-a₄-$\frac{17}{4}$，可得a₄=$\frac{15}{8}$，
猜想得到a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，
由数学归纳法可得．
当n=1时，a₁=1，$\frac{2-1}{{2}^{0}}$=1，成立；
设n=k时，a_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$成立，
当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
可得a_k+1=$\frac{1}{2}$（2+a_k）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$）=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
即有n=k+1也成立．
综上可得a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，对n为一切非零自然数成立．
（2）证明：b_n=2^n-1a_n=2ⁿ-1，
即证1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$++…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{5}{3}$．
由$\frac{1}{{2}^{k}-1}$＜$\frac{2}{{2}^{k}-1}$-$\frac{2}{{2}^{k+1}-1}$，
等价于：2^k+1-2＜2^k+1-1；
所以：①当n=1时，原不等式成立，
②当n≥2时，1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$≤1+（$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{7}$）+（$\frac{2}{7}$-$\frac{2}{15}$）+…+（$\frac{2}{{2}^{n}-1}$-$\frac{2}{{2}^{n+1}-1}$）
=1+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{{2}^{n+1}-1}$＜$\frac{5}{3}$．
即有不等式成立．

点评 本题考查数列的通项的求法，考查数学归纳法的运用和放缩法的运用：证明不等式，属于中档题．