Question

1．设函数y=f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，a≠1，k∈R）
（1）若函数y=f（x）的反函数就是其本身，求k的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）≥1的解集；
（3）我们学过许多函数的反函数就是其本身．例如y=x，y=$\frac{1}{x}$等，请你再举出除了上述3种类型之外的2个函数，使得函数的反函数就是其本身．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）的反函数，根据f（x）的原函数与反函数相同，列出方程，求出k的值；
（2）k=1时，由f（x）≥1得出为log_a（a-a^x）≥1，讨论a的取值范围，求出不等式的解集；
（3）举例说明函数的反函数是其本身的函数即可．

解答 解：（1）∵y=f（x）=log_a（a-ka^x），
∴a^y=a-ka^x，
∴x=log_a$\frac{a{-a}^{y}}{k}$，
∴f（x）的反函数为y=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$；
又∵f（x）的原函数与反函数是同一函数，
∴log_a（a-ka^x）=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即a-ka^x=$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1=0}\\{1-k=0}\end{array}\right.$，
解得k=1；
（2）k=1时，f（x）=log_a（a-a^x），
不等式f（x）≥1即为log_a（a-a^x）≥1；
当a＞1时，不等式化为a-a^x≥a，即a^x≤0，无解；
当1＞a＞0时，不等式化为0＜a-a^x≤a，即a＞a^x≥0，解得x＞1；
综上，a＞1时，不等式无解，
1＞a＞0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
（3）函数的反函数是其本身的函数有y=-$\frac{1}{x}$（x≠0）与y=-x等．

点评 本题考查了分类讨论的应用问题，也考查了对数函数函数与反函数的应用问题，考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．