Question

设P是不等式组

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

表示的平面区域内的任意一点，向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，若

OP

=λ

m

+μ

n

，则2λ+μ的最大值为

5

．

Answer 1

分析：根据向量线性运算的坐标公式，得到

x=λ+2μ y=λ+μ

，由此代入题中的不等式组，可得关于λ、μ的不等式组．作出不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=2λ+μ对应的直线进行平移，可得当λ=3，μ=-1时，目标函数取得最大值为5．

解答：解：∵向量

m

=(1，1)，

n

=(2，1)，且

OP

=λ

m

+μ

n

，
∴P（x，y）满足

x=λ+2μ y=λ+μ

，代入不等式组

x，y≥0 x-y≥-1 x+y≤3

，得

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

作出不等式组

λ+2μ≥0 λ+μ≥0 μ≥-1 2λ+3μ≤3

表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，
其中A（-3，3），B（3，-1），C（2，-1），O为坐标原点
设z=F（λ，μ）=2λ+μ，将直线l：z=2λ+μ进行平移，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（3，-1）=2×3+（-1）=5
故答案为：5

点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数2λ+μ的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．