Question

【题目】已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1），a1=2，若bn= ．
（1）证明：数列{bn}是等差数列；
（2）令cn= ，{cn}的前n项和为Tn ， 用数学归纳法证明Tn≥ （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，

即bn+1﹣bn=2，

∴{bn}是首项为b1= =1，公差为2的等差数列．

（2）解：由（1）知，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，cn= = ，

①当n=1时，则有T1=1有T1≥ =1成立；

②假设当n=k时，不等式成立，即Tk≥ 成立，

则当n=k+1时，Tk+1=Tk+ck+1= ≥ + ，

欲证 + ≥ ，

只须证 +1≥k+1，

即证 ≥k，即证 ≥ ，即证1≥0，而此式成立

故当n=k+1时，不等式也成立．

故有Tn≥ （n∈N*）．

【解析】（1）由（an+1﹣1）（an﹣1）= （an﹣an+1）得 ﹣ =2，继而得到{bn}是首项为b1= =1，公差为2的等差数列．（2）由数学归纳法和分析法即可证明．
【考点精析】利用等差关系的确定和数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．