Question

如图，椭圆C₁：的离心率为，x轴被曲线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长。
（Ⅰ）求C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A，B，直线MA，MB分别与C₁相交与D，E，
（ⅰ）证明：MD⊥ME；
（ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S₁，S₂，问：是否存在直线l，使得=? 请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知，从而a=2b，
又，解得a=2，b=1，
故C₁，C₂的方程分别为。
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是，
又点M的坐标为（0，-1），
所以，
故MA⊥MB，即MD⊥ME。
（ⅱ）设直线的斜率为k₁，则直线的方程为y=k₁x-1，
由解得或，则点A的坐标为，
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为，
于是，
由得，
解得或，
则点D的坐标为；
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标，
于是，
因此，
由题意知，解得或，
又由点A，B的坐标可知，，所以，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和。