Question

【题目】如图，曲线由上半椭圆： （， ）和部分抛物线： （）连接而成， 与的公共点为， ，其中的离心率为．

（1）求， 的值；

（2）过点的直线与， 分别交于点， （均异于点， ），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】试题分析：（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半椭圆的左、右顶点，设半焦距为，由及，联立解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），代入的方程，整理得： ，设点的坐标为，由根公式，得点的坐标为，

同理，得点的坐标为．由 ，即可得出的值，从而求得直线方程.

试题解析（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半椭圆的左、右顶点，设半焦距为，由及可得

设半焦距为，由及可得，∴， ．

（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，

易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），

代入的方程，整理得： （*）

设点的坐标为，∵直线过点，∴点的坐标为，

同理，由得点的坐标为．

依题意可知，∴， ．

∵，∴，即，

∵，∴，解得，

经检验， 符合题意，故直线的方程为．