Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0，a≠1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）单调性并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1，由此求得函数的定义域．
（2）由于f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（3）设g（x）=

1+x

1-x

，则f（x）=log_af（x），先由函数的单调性的定义证明g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f（x）的单调性．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，∴-1＜x＜1，故定义域为（-1，1）．…（3分）
（2）∵f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

_）^-1=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．…（6分）
（3）设g（x）=

1+x

1-x

，则f（x）=log_af（x），取-1＜x₁＜x₂＜1，则
g（x₁）-g（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

＜0
∴g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，…（8分）
∴a＞1时，f（x）为递增函数，0＜a＜1时，f（x）为递减函数…（10分）

点评：本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．