Question

【题目】已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）对进行求导，得，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后根据点斜式求出切线方程；

（2）根据题意，化简得，求出导函数，通过有两个不同的正根，即有两个不同的正根，列出不等式组，由恒成立条件转化为恒成立，构造新函数，利用导函数研究函数单调性和最值，进而可求得的取值范围.

解：（1）因为，

所以，

所以切线斜率，又，

故曲线在点处的切线方程为：

，即.

（2）因为，

所以，

因为函数有两个极值点，，

则有两个不同的正根，即有两个不同的正根，

则，

不等式恒成立等价于

恒成立，

又

，

所以，

令，则，

所以在上单调递减，

所以，所以.

所以实数的取值范围为：.