题目内容

5．已知△ABC中，C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，且AB•BC=24，则AC的长度为5．

分析 先根据二倍角公式求出cosC，再根据两角和的余弦公式求出cosB，根据正弦定理求出a，c的关系，由ac=24，解得a，c，再根据余弦定理求出b的值．

解答 解：△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，
∵C=2A，cosA=$\frac{3}{4}$，
∴cosC=cos2A=2cos2A-1=$\frac{1}{8}$，
∴sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{1}{2cosA}$=$\frac{2}{3}$，
即3a=2a，
∵AB•BC=24，即ac=24，
解得a=4，b=6，
根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB=16+36-2×24×$\frac{9}{16}$=25，
∴b=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理和两角和差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系和二倍角公式，属于中档题．

练习册系列答案
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