题目内容
等差数列{an}的首项和公差都是
，记{an}前n项和为Sn．等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．
（Ⅰ） 写出Si（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
（Ⅱ） 若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得Tk，T2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ） 若将Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．
| 2 | 3 |
（Ⅰ） 写出Si（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
（Ⅱ） 若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得Tk，T2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ） 若将Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．
分析：（Ⅰ）直接代入等差数列的求和公式得到Sn．再把n=1，2，3，4，5分别代入即可求出集合A；
（Ⅱ）由于{bn}的前n项和为Tn．故应分类讨论，然后利用Tk，T2k同时为集合A中的元素进行求解；
（Ⅲ）∵Sn=na1+
d=
×[n+
]=
．Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），故可求．
（Ⅱ）由于{bn}的前n项和为Tn．故应分类讨论，然后利用Tk，T2k同时为集合A中的元素进行求解；
（Ⅲ）∵Sn=na1+
| n(n-1) |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| n(n-1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵Sn=na1+
d=
×[n+
]=
．
把n=1，2，3，4，5分别代入．
∴A={
，2，4，
，10}．
（Ⅱ）当q=1时，Tk=kb1，T2k=2kb1；
所以T2k=2Tk；
∵Tk，T2k同时为集合A中的元素，
∴Tk=2，T2k=4⇒kb1=2，
∴b1=
，
∴bn=
；
当q≠1时，Tk=
，T2k=
；
=1+qk，∵q为正整数，正整数k大于1．
∴当Tk=
时，T2k=
，得到qk=9⇒q=3，k=2⇒Tk=T2=b1（1+q）=b1×4=
⇒b1=
，故bn=
×3n-1=
×3n-2；
当Tk=2时，T2k=10，得到qk=4⇒q=2，k=2⇒Tk=T2=b1（1+q）=b1×3=2⇒b1=
，bn=
×2n-1=
×2n；
当Tk=4，Tk=
，Tk=10时，找不到满足条件的{bn}．
（Ⅲ）Sn=na1+
d=
×[n+
]=
．
∵Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
故可求cn=n（3n+1），或cn=n（3n-1）．
| n(n-1) |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| n(n-1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 3 |
把n=1，2，3，4，5分别代入．
∴A={
| 2 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
（Ⅱ）当q=1时，Tk=kb1，T2k=2kb1；
所以T2k=2Tk；
∵Tk，T2k同时为集合A中的元素，
∴Tk=2，T2k=4⇒kb1=2，
∴b1=
| 2 |
| k |
∴bn=
| 2 |
| k |
当q≠1时，Tk=
| b1(1-qk) |
| 1-q |
| b1(1-q2k) |
| 1-q |
| T2k |
| Tk |
∴当Tk=
| 2 |
| 3 |
| 20 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
当Tk=2时，T2k=10，得到qk=4⇒q=2，k=2⇒Tk=T2=b1（1+q）=b1×3=2⇒b1=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
当Tk=4，Tk=
| 20 |
| 3 |
（Ⅲ）Sn=na1+
| n(n-1) |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| n(n-1) |
| 2 |
| n(n+1) |
| 3 |
∵Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
故可求cn=n（3n+1），或cn=n（3n-1）．
点评：本题的考点是等差数列与等比数列的综合，考查等差数列、等比数列的求和公式，关键是理解题意，合理转化．
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