Question

在面积为1的△PMN中，tg∠PMN=，tg∠MNP=－2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建    立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M (－c，0)，N (c，0)． 由tgM=，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为 y=(x+c)和y=2(x－c)． 将此二方程联立，解得 x=c，y=c，即P点坐标为(c，c)． 在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故 由题设条件S△MNP=1，∴ c=，即P点坐标为．         由两点间的距离公式 ， ． 得 ．                                     又  b2=a2－c2=， 故所求椭圆方程为．                                               解法二：同解法一得，P点的坐标为．            ∵ 点P在椭圆上，且a2=b2+c2． ∴ ． 化简得3b4－8b2－3=0． 解得b2=3，或b2= (舍去)．                                 又 a2=b2+c2=3+． 故所求椭圆方程为．                                    解法三：同解法一建立坐标系．                                     ∵ ∠P=∠α－∠PMN， ∴ ． ∴ ∠P为锐角． ∴ sinP=，cosP=． 而 S△MNP=|PM|·|PN|sinP=1， ∴ |PM|·|PN|=．                    ∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c， 由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP =(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP) =(2a)2－2·－2··， ∴ c2=a2－3，即b< SUP>2=3．           ;                                 又 sinM=，sinN=， 由正弦定理， ， ∴ ． 即  ， ∴ a=c．                                                      ∴ a2=b2+c2=3+． ∴ a2=． 故所求椭圆方程为．