在面积为1的△PMN中.tanM=.tanN=-2.建立适当的坐标系.求出以M.N为焦点且过点P的椭圆方程. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

思路解析：建立适当的坐标系后,易得PM、PN的方程，则有了P点坐标，待定系数法可求椭圆方程；也可以解△PMN，得三边长后再建系求方程.

解法一：以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如图所示.

设所求椭圆方程为+=1(a＞b＞0).分别记 M、N点的坐标为(-c，0)、(c，0).

由tan∠PMN=,tan∠PNx=tan(π-∠PNM)=2得直线PM、PN的方程分别是

y=（x+c），y=2（x-c）.

联立解得即P(c，c).

又S_△MNP=|MN|·y=·2c·c=c²=1.

∴c=，从而点P为（，）.

将点P的坐标代入椭圆方程,得

+=1. ①

由题意,得a²-c²=b².

∴a²-=b².②

由①②联立得方程组

解得a²=，b²=3.

∴椭圆的标准方程是+=1.

解法二：同解法一，得c=，P(，).

∴|PM|=

==.

∴|PN|=（x-c）²+y²

==.

∴a=（|PM|+|PN|）=，从而b²=a²-c²=-=3.

∴椭圆方程为+=1.

解法三：如图所示，过P作PQ⊥MN，PQ交MN的延长线于Q，

∵∠MNP=π-∠PNQ，

∴tan∠MNP=tan（π-∠PNQ）=-2.

∴tanPNQ=2.

在Rt△PNQ中，tan∠PNQ=.

∴PQ=2NQ，即NQ=PQ.

同理,PQ=MQ，∴MQ=2PQ.∴MN=MQ-NQ=2PQ-PQ=PQ.

∵S_△MNP=MN·PQ，∴·PQ·PQ=1.

∴PQ=.∴MQ=2PQ=，NQ=.

∴PM===，

PN===，

MN=PQ=·=.

以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立如图所示的坐标系.

设椭圆的标准方程是+=1（a＞b＞0）,

则2a=|PM|+|PN|=+=,

2c=|MN|=.

∴a=,c=.

∴b²=a²-c²=()²-()²=3.

∴椭圆的标准方程是+=1.

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