Question

15．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+1．
（Ⅰ）若a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值m（a）；
（Ⅱ）记g（x）=f（x）+|x-a|，若g（x）在[1，2]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数配方得f（x）=（x-a）²+1-a²，可得对称轴方程为x=a．只需对对称轴a进行分类讨论即可；
（Ⅱ）根据问1，对a分类讨论：当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2-2a＞0，得出g（x）＞0，无零点；当a=1时，g（x）=（x-1）²+|x-1|在[1，2]上恰有一个零点x=1；当1＜a＜2时，去绝对值，利用对称轴得出分段函数单调性，解出$1＜a≤\frac{7}{5}$；当a≥2时，去绝对值，讨论函数单调性，判断g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此时没有零点．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x-a）²+1-a²，对称轴方程为x=a．     …（1分）
（1）当1≤a≤2时，m（a）=f（a）=1-a²．                …（3分）
（2）当a＜1时，f（x）在区间[1，2]上是单调递增，
所以m（a）=f（1）=2-2a．                            …（5分）
综上所述：$m（a）=\left\{\begin{array}{l}1-{a^2}{，_{\;}}1≤a≤2\\ 2-2a，a＜1.\end{array}\right.$…（6分）
（Ⅱ）（1）当a＜1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥2-2a＞0，
从而g（x）＞0，此时g（x）在[1，2]上没有零点．               …（8分）
（2）当a=1时，g（x）=（x-1）²+|x-1|在[1，2]上恰有一个零点x=1．…（9分）
（3）当1＜a＜2时，$g（x）={x^2}-2ax+1+|{x-a}|=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（2a+1）x+1+a{，_{\;}}1≤x≤a\\{x^2}-（2a-1）x+1-a，a＜x≤2.\end{array}\right.$…（10分）
由$1＜\frac{2a+1}{2}＜a$，$\frac{2a-1}{2}＜a$知g（x）在$[{1，\frac{2a+1}{2}}]$上单调递减，在$[{\frac{2a+1}{2}，2}]$单调递增．
又g（1）=1-a＜0，所以要使得g（x）在[1，2]上恰有一个零点，
只需g（2）=7-5a≥0，解得$a≤\frac{7}{5}$，所以$1＜a≤\frac{7}{5}$．         …（12分）
（4）当a≥2时，g（x）=x²-2ax+1+|x-a|=x²-（2a+1）x+1+a
由$\frac{2a+1}{2}＞2$知g（x）在[1，2]上单调递减．
又g（1）=1-a＜0，所以g（x）＜0在[1，2]上恒成立，即此时没有零点．
综上所述，$1≤a≤\frac{7}{5}$．                                 …（14分）

点评 考查了二次函数区间内单调性的分类讨论和绝对值函数的分类讨论，难点较大．