题目内容

已知函数 $数学公式$
（Ⅰ）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）A是△ABC的内角， $数学公式$ ，求A角的大小．

解：f（x）=2 $\text{[math]}$ sinxcosx+sin²x-cos²x…（2分）
= $\text{[math]}$ sin2x-cos2x
=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）…（4分）
（1）∵x∈[0， $\text{[math]}$ ]，2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]…（5分）
∴- $\text{[math]}$ ≤sin（2x- $\text{[math]}$ ）≤1…（7分）
x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，函数f（x）的值域为[- $\text{[math]}$ ，1]…（8分）
（2）∵A∈（0，π），
∴2A- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（10分）
∵2sin（2A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴2A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …（12分）
∴A= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可求得f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），由x∈[0， $\text{[math]}$ ]，可求得2x- $\text{[math]}$ 的范围，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）依题意，可求得sin（2A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，从而可求得角A的值．
点评：本题考查二倍角的余弦，考查两角和与差的正弦函数及其性质，属于中档题．