Question

求下列函数的定义域、值域．
（1）y=(

1

2

)1+2x-x2
（2）y=(

3

2

) -|x|．

Answer 1

（1）因为指数函数的定义域为R，所以1+2x-x²不论取何值，函数y=(

1

2

)1+2x-x2都有意义，所以x可以取所有实数，即函数y=(

1

2

)1+2x-x2的定义域为R；
令t=-x²+2x+1，此函数对应的抛物线开口向下，所以函数有最大值，即tmax=

4×(-1)×1-22

4×(-1)

=2．
因为以

1

2

为底数的指数函数是减函数，
则y=(

1

2

)1+2x-x2=(

1

2

)t≥(

1

2

)2=

1

4

．
所以，函数y=(

1

2

)1+2x-x2的值域为[

1

4

，+∞)．
（2）因为指数函数的定义域为R，所以-|x|不论取何值，函数y=(

3

2

) -|x|都有意义，所以x可以取所有实数，即函数y=(

3

2

) -|x|的定义域为R；
令t=-|x|，则t≤0．
因为以

3

2

为底数的指数函数是增函数，
则y=(

3

2

) -|x|=(

3

2

)t≤(

3

2

)0=1．
又指数函数的函数值大于0，
所以，函数y=(

3

2

) -|x|的值域为（0，1]．