Question

（2008•普陀区二模）如图，在体积为16的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是DD₁的中点，且DD₁=2AD=2DC，求异面直线AD₁与C₁M所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：由于AD₁与BC₁平行且相等，故∠BC₁M （或其补角）为异面直线AD₁与C₁M所成角，△MBC₁中，由余弦定理求出 
cos∠BC₁M 的值，即可得到∠BC₁M  的值．

解答：解：由题意可得CD²×2CD=16，∴CD=2，故正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高DD₁=4．
由于AD₁与BC₁平行且相等，故∠BC₁M （或其补角）为异面直线AD₁与C₁M所成角．
△MBC₁中，BC₁=

16+4

=2

5

，C₁M=2

2

，BM=

4+4+4

=2

3

，
由余弦定理可得 12=20+8-8

15

cos∠BC₁M，∴cos∠BC₁M=

2 15

15

，
故∠BC₁M=arccos

2 15

15

，即异面直线AD₁与C₁M所成角的大小为arccos

2 15

15

．

点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键，属于中档题．