Question

（2013•泸州一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若bcosA-acosB=

1

2

c．
（I）求证：tanB=3tanA；
（Ⅱ）若tanC=2，求角A的值．

Answer 1

分析：（I）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinBcosA=3sinAcosB，故有cosA＞0，cosB＞0，即A、B都是锐角，从而可得tanB=3tanA．
（Ⅱ）由题意可得tan（A+B）=-2，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，再把tanB=3tanA代入可得tanA的值，从而求得角A的值．

解答：解：（I）△ABC中，bcos A-acosB=

1

2

c，
由正弦定理可得 sinBcosA-sinAcosB=

1

2

sinC=

1

2

sin（A+B），
∴2sinBcosA-2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，化简可得sinBcosA=3sinAcosB．
又cosA＞0，cosB＞0，即A、B都是锐角，从而可得tanB=3tanA．
（Ⅱ）∵tanC=2，∴tan（A+B）=-2，即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-2，再把tanB=3tanA代入可得tanA=1，tanA=-

1

3

 （舍去），
∴A=

π

4

．

点评：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．