Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n+23，n∈N*，则数列{a_n}的通项公式a_n=（　　）

• A． $3×{（\frac{5}{6}）^{n-1}}-1$
• B． $3×{（\frac{5}{6}）^n}-1$
• C． $3×{（\frac{5}{6}）^{n-1}}+1$
• D． $3×{（\frac{5}{6}）^n}+1$

Answer 1

分析 S_n=n-5a_n+23，n∈N*，当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁+23，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=n-5a_n+23，n∈N*，
∴当n=1时，a₁=S₁=1-5a₁+23，解得a₁=4．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n+23-（n-1-5a_n-1+23），化为：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），a₁-1=3．
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为3，公比为$\frac{5}{6}$．
∴a_n-1=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，即a_n=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$+1，
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．