Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6.

(1)求椭圆C的标准方程及离心率;

(2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 e= (2) (,)

【解析】

解:(1)由题设得

解得a=2,b=,c=1.

故C的方程为+=1,离心率e=.

(2)直线F1A的方程为y=(x+1),

设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0),

则⇒

所以点M的坐标为(-,).

∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|,

|PF2|+|PO|的最小值为

|MF2|==.

直线MF2的方程为y=(x-1),

即y=-(x-1).

由⇒

所以此时点P的坐标为(,).