Question

（2013•奉贤区一模）已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，g（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，g（x）=f（x-1），g（3）=2013，则f（2014）的值为

2013

．

Answer 1

分析：根据g（x）为奇函数及g（x）=f（x-1）可得f（-x-1）=-f（x-1），再由f（x）为偶函数可得f（x+1）=-f（x-1），由此可求得f（x）的周期，利用周期性可把f（2014）进行转化，再利用所给等式赋值即可求得．

解答：解：因为g（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，所以g（-x）=-g（x），
又g（x）=f（x-1），所以f（-x-1）=-f（x-1），
因为f（x）为（-∞，+∞）上的偶函数，所以f（-x-1）=f（x+1），
则f（x+1）=-f（x-1），用x+1替换该式中的x，有f（x+2）=-f（x），
所以f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
故f（x）为以4为周期的函数，
所以f（2014）=f（4×503+2）=f（2），
因为g（x）=f（x-1），所以g（3）=f（2）=2013，
所以f（2014）=2013．
故答案为：2013．

点评：本题考查函数奇偶性、周期性及其应用，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．解决本题关键是利用所给条件推导函数周期．