Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的方程及焦距，根据过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为，表示出右焦点的坐标，代入椭圆方程，再根据离心率的公式得到c与a的比值也代入椭圆方程，化简后求出b的值，根据c与a的比值及椭圆的简单性质即可求出c与a的值，把a与b的值代入所设的椭圆方程确定出解析式；
（2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程及P与Q的坐标，把设出的方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，且表示出两纵坐标之积，把表示出的两根之和与两根之积代入化简，由两向量垂直时满足的数量积为0列出关系式，把求出的两根之积与两纵坐标之积代入即可用k表示出m，然后利用点到直线的距离公式表示出O到直线l的距离d，把表示出的m代入即可求出d的值；当直线l的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，设直线OP，OQ的方程，求出P与Q的坐标，求出此时原点O到直线l的距离，与d相等，综上，O到直线l的距离为定值，且定值为求出的d．
解答：解：（1）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），焦距为2c，
∵e==，且根据题意可知：点（c，）在椭圆上，
∴+=1，则+=1，解得b=1，
∵a=c，且a²-c²=b²=1，则c=1，a=，
故椭圆方程为：+y²=1；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=，
因为⊥，所以x₁x₂+y₁y₂=+==0，（10分）
即3m²-2k²-2=0，所以m²=，（11分）
设原点O到直线l的距离为d，则d====，（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为⊥，根据椭圆的对称性，
不妨设直线OP，OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得P（，），Q（，-）或P（-，-），Q（-，），
此时，原点O到直线l的距离仍为，
综上，点O到直线l的距离为定值．（14分）
点评：本题考查利用待定系数法求椭圆的方程，考查了分类讨论及整体代入的数学思想．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，点到直线的距离公式及平面向量的数量积的运算法则进行求解．