Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在棱AA₁是上否存在一点E，使得直线AB和平面B D₁E的夹角是30⁰？若存在，求出点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：过点A₁作A₁O⊥平面ABC₁垂足为O，则∠A₁BO即为A₁B与平面ABC₁所成的角，由等体积法可求A₁O，在Rt△A₁BO中sin∠A₁BO=

1

2

可得∠A₁BO=30°，所以可求得当与A重合时满足条件．

解答：解：假设存在满足条件的点E
过点A₁作A₁O⊥平面ABC₁D₁垂足为O，则∠A₁BO即为A₁B与平面ABC₁D₁所成的角
由V_A1-ABC1=V_C1-ABA1可得A₁O=

1 3 ×S△ABA1×1

1 3 ×SABC1

=

2

2

在Rt△A₁BO中sin∠A₁BO=

A1O

AB

=

2 2

2

=

1

2

∴∠A₁BO=30°
当E与A重合时满足条件

点评：本题主要考查了线面所成角的度量，以及等体积法，等体积法求解锥体的高是高考在立体几何部分的考查热点和重点，属于中档题．