Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
 （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
 （2）若f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）得到b与a、c与a的关系，再由方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用判别式等于0求解a的值，则函数解析式可求；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x整理，由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，讨论二次项系数，当二次项系数不等于0时利用“三个二次”的结合列关于a的不等式组求解．

解答：解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集为（1，3），
说明a＜0，方程ax²+（b+2）x+c=0的两根为1和3．
根据韦达定理，-

b+2

a

=1+3=4，

c

a

=1×3=3．
∴b=-4a-2，c=3a．
函数化为f（x）=ax²-（4a+2）x+3a，
方程f（x）+6a=0有两个相等的根，
即ax²-（4a+2）x+9a=0有两个相等的实根，
则△=[-（4a+2）]²-36a²=16a²+16a+4-36a²=0，
解得：a=1（舍去），或a=-

1

5

．
∴b=-4a-2=-4×(-

1

5

)-2=-

6

5

，c=3a=3×(-

1

5

)=-

3

5

．
∴f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

；
（2）由f（x）＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
即-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

＞（a-1）x²-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
也就是（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
当5a-4=0，即a=

4

5

时，不等式化为x＞

1

7

，满足x∈（1，2）；
当5a-4≠0时，要使（5a-4）x²-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=（5a-4）x²-（15a+9）x+3．
则

5a-4＞0 g(1)=-10a-10≤0 g(2)=-10a-31≤0

①或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≤1 g(1)=-10a-10≤0

②或

5a-4＜0 15a+9 2(5a-4) ≥2 g(2)=-10a-31≤0

③
解①得，a＞

4

5

．
解②得，-1≤a＜

4

5

．
解③得，a∈∅．
综上，实数a的取值范围是[-1，+∞）．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了一元二次不等式的解法，训练了利用“三个二次结合”求解恒成立问题中的参数范围问题，是中档题．