题目内容

设an表示满足不等式
x＞0
y＞0
y≤-nx2+10n
的整数对（x，y）的个数（其中整数对是指x，y都为整数的有序实数对），则
1
4024
(a2+a4+…a2012)=（　　）
分析：根据x、y均为正数，将不等式y≤-nx2+10n等价变形：y≤n（10-x2），再讨论整数x的取值，可得an=9n+6n+n=16n，由此结合等差数列的前n项和公式，可得本题的答案．
解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴y≤-nx2+10n即y≤n（10-x2）
①当x=1时，正整数y≤9n，共9n个整数对（x，y）；②当x=2时，正整数y≤6n，共6n个整数对（x，y）；
③当x=3时，正整数y≤n，共n个整数对（x，y）
由此可得，an=9n+6n+n=16n
∴a2+a4+…+a2012=16（2+4+…+2012）=16×503×（2+2012）=4024×4028
由此可得
1
4024
(a2+a4+…a2012)=
1
4024
×（4024×4028）=4028
故选：D
点评：本题给出不等式组，求满足条件的整数对的个数，并求数列的和．着重考查了二次不等式的讨论和等差数列的前n项和公式等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．
设an表示满足不等式
x＞0
y＞0
y≤-nx2+10n
的整数对（x，y）的个数（其中整数对是指x，y都为整数的有序实数对），则
1
4024
(a2+a4+…a2012)=（　　）
A．1012B．2014C．4024D．4028
已知集合A={(x,y)|x,y,2n-x-y}是三角形的三边之长,n∈N*}设an表示集合A中整点（横、纵坐标均为整数）的个数.

(1)写出an的通项公式；

(2)求使得an＞2 006成立的n的最小值；

(3)设列数{bn}满足:bn=n2-2an,n∈N*,其前n项和为Sn.若对任意正整数n，不等式≤m恒成立，求m的取值范围.

设n∈N*，不等式组所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn).

（1）求(xn,yn)；

（2）设数列{an}满足a1=x1,an=yn2(++…+)(n≥2),求证：n≥2时，；

（3）在（2a）的条件下，比较(1+)(1+)…(1+)与4的大小.

 

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