Question

已知抛物线y²=2px(p＞0)的内接三角形的一个顶点在原点,三边上的高都过焦点,求此三角形的外接圆方程.

Answer 1

解：设△OAB,其中O为原点,A、B为抛物线上的点,如图,

∵Ox⊥AB,

∴A、B关于x轴对称.

设A(,y₁),则B点坐标为(,-y₁),

∵OA⊥BF,

∴·=-1.

解得y₁²=5p².

故可知点A、B坐标分别为(p,p)、(p,-p).

设过点O、A、B的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey=0,

则

解得D=-p,E=0.

∴圆的方程为x²+y²-px=0.