Question

9．函数f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（1）求a的值；
（2）已知x≥0时，求使f（x）≥2x+$\frac{2{x}^{3}}{3}$+M恒成立的实数M的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由函数在x=0时的导数等于2，求得a的值；
（2）构造函数g（x）=f（x）-2x-$\frac{2{x}^{3}}{3}$，求其导函数，判断导函数在[0，1）上的符号，得到原函数在[0，1）上的单调性，由此可得使不等式恒成立的实数M的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0），
得f′（x）=$\frac{1}{a+x}$+$\frac{1}{a-x}$，
∴在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=$\frac{2}{a}$，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，
∴f′（0）=2，
即$\frac{2}{a}$=2，解得a=1；
（2）令g（x）=f（x）-2x-$\frac{2{x}^{3}}{3}$=ln（1+x）-ln（1-x）
则g′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1-x}$-2-2x²=$\frac{2{x}^{4}}{1-{x}^{2}}$≥0在[0，1）恒成立，
即有函数g（x）在[0，1）上为增函数，
则g（x）≥g（0）=0，即g（x）的最小值为0，
由题意可得M≤g（x）的最小值，可得M的范围是（-∞，0]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．