Question

如图所示，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁ ，AB=1，AA₁=2，点E为CC₁中点，点F为BD₁中点.

（1）证明EF为BD₁与CC₁的公垂线；

（2）求点D₁到平面BDE的距离.

Answer 1

解析：（1）证法一：取BD中点M ，连结MC 、FM .?

∵F为BD₁中点，∴FM∥DD₁且FM=D₁D.?

又∵EC=CC₁且EC⊥MC,?

∴四边形EFMC是矩形.∴EF⊥CC₁.?

又CM⊥面DBD₁，∴EF⊥平面DBD₁.?

∵BD₁平面DBD₁，∴EF⊥BD₁.?

故EF为BD₁与CC₁的公垂线.?

证法二：建立如图所示的空间直角坐标系，得B（0，1，0），D₁（1，0，2） ，F（，?，1），C₁（0，0，2），E（0，0，1）.??

∴=(,,1)-(0,0,1)=( -0, -0,1-1)=( ,,0),=(0,0,2), =(1,0,2)-(0,1,0)=(1-0,0-1,2-0)=(1,-1,2).?

∴?=×0+×0+0×0=0.?

?       =×1+×(-1)+0×2=-+0=0.?

即EF⊥CC₁，EF⊥BD₁.?

故EF是CC₁与BD₁的公垂线.?

证法三：（自由向量法）设=a ，=b ，=c ，且|a|=|b|=1，|c|=2，a⊥b，a⊥c，c⊥b.?

∵=c, =b–a + c,?

?b-a+c,

∴.?

∴.?

 ∵即⊥，且⊥.?

∴EF是CC₁与BD₁的公垂线.?

（2）解法一：连结ED₁，有V_E—DBD1=V_D1—DBE .?

由（1）知，EF⊥CC₁，∴EF⊥DD₁.?

又EF⊥BD₁，∴EF⊥面DBD₁.?

设点D₁到面BDE的距离为d,?

则S_△DBE?·d=S_△DBD1·EF.?

∵AA₁=2,AB=1,∴BD=BE=ED=,EF=.?

∴S_△DBD1 =,S_△DBE =.?

∴.?

∴.?

故点D₁到平面BDE的距离为.?

解法二：由（1）的证法三知, ，，?在面BDE内任取一点M，以与为基底，将用它们来表示，即

又，?

∴??

∵a⊥b,b⊥c,c⊥a,|a|=|b|=1,|c|=2,?

∴

 

 

?当且仅当y +x=0且x +=0时取等号,?

即当x =,y =时，的最小值为，?即.?

故点D₁到面BDE的距离为.