Question

18．已知函数f（x）=1+a（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞7；
（2）若对任意x∈[0，+∞），总有f（x）≤3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，f（x）=1+（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，设t=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x）＞7，得t²+t-6＞0，由此能求出不等式f（x）＞3的解集．
（2）由题意知，f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，从而[-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_max＜a≤[2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_min，设2^x=t，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=1+（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x，
设t=（$\frac{1}{2}$）^x，由f（x）＞7，得t²+t-6＞0，即t＞2或t＜3，…（2分）
又∵t＞0，∴t＞2，即（$\frac{1}{2}$）^x＞2，故x＜-1，
∴不等式f（x）＞3的解集是{x|x＜-1}．…（4分）
（2）由题意知，f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
-4-（$\frac{1}{4}$）^x$≤a（\frac{1}{2}）^{x}$≤2-（$\frac{1}{4}$）^x，
∴-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x≤a≤2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_max＜a≤[2•2^x-（$\frac{1}{2}$）^x]_min…（7分）
设2^x=t，p（t）=2t-$\frac{1}{t}$，由x∈[0，+∞），得t≥1，…（9分）
设1≤t₁＜t₂，p（t₁）-p（t₂）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（2{t}_{1}{t}_{2}+1）}{{t}_{1}{t}_{2}}$＜0，
∴p（t）在[1，+∞）上递增，…（12分）
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴实数a的取值范围为（-∞，1]．…（14分）

点评 本题考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．