题目内容

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱BB₁上运动（不含B，B₁两点），求△APC₁的面积S的最小值．

解：以D₁为原点，D₁A₁为x轴，D₁C₁为y轴，D₁D为z轴建立空间直角坐标系，
设PB₁=t（0＜t＜1），则A（1，0，1），C₁（0，1，0），P（1，1，t），在AC₁上任取一点Q（a，b，c），
由 $\text{[math]}$ ，得（a-1，b，c-1）=λ（-1，1，-1），
∴a=1-λ，b=λ，c=1-λ，
令x=1-λ，有Q（x，1-x，x），又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
当△APC₁的面积S的最小时， $\text{[math]}$ 最小，必有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，这时 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ．
∴△APC₁的面积 $\text{[math]}$ ，即△APC₁的面积S的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：建立空间直角坐标系后，设PB₁=t，在AC₁上任取一点Q，要使△APC₁的面积S最小，必有 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，
求点P，Q的坐标后，即可求出三角形高的最小值，由此可求S的最小值．
点评：本题考点是点、线、面间的距离的计算，由于本题易于建立空间直角坐标系求距离，进而求△APC₁的面积，所以选用了“坐标法”，但要注意过程中的细节处理，尽一切可能的降低运算量，如令x=1-λ．若用“几何法”，易产生漏洞，因位置关系判断不准而致求△APC₁的面积出错．