Question

已知PA⊥平面ABC，点H、G分别是△ABC、△PBC的垂心，如图,求证：HG⊥平面PBC.

Answer 1

思路解析：欲证HG⊥平面PBC，需证HG与平面PBC内的两条相交直线垂直.利用“垂心和三角形顶点的连线垂直于对边”的性质，可使孤立的点G、H与各边联系起来，并得到垂直关系，从而找到解题突破口.首先连结AH，并延长交BC于点D，连结PD，则根据线面垂直及已知条件得PD⊥BC，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAD，且BC⊥HG.再连结并延长BG、BH分别交对边于E、F，则PC⊥BE且BF⊥AC，从而PC⊥BF，推出PC⊥平面BEF，PC⊥HG.

证明：连结AH并延长交BC于D，连结PD.

H为△ABC的垂心AD⊥BC.

连结并延长BG、BH分别交PC、AC于点E、F,连结EF.

方法归纳  解决立体几何中的有关垂直关系的问题，常常要进行多次线线垂直和线面垂直之间的转化，这充分体现了化归思想的重要性和优越性.