Question

（2012•宝鸡模拟）如图，已知PA⊥平面ABC，且PA=

2

，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（1）求证：PC⊥平面ADE；
（2）求点D到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质与判定，证明PC⊥平面ADE，证出PC⊥AD，PC⊥AE即可；
（2）过D点作DF⊥BA垂直为E，由题意知DF⊥面ABC，即DF为所求距离，利用三角形的相似，可得结论．

解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，
因为AD?平面PAB，所以BC⊥AD．…（3分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，所以AD⊥平面PBC，
因为PC?平面PBC，所以PC⊥AD，
又PC⊥AE，AD∩AE=A，所以PC⊥平面ADE．…（6分）
（2）解：过D点作DF⊥BA垂直为E，

由题意知DF⊥面ABC，即DF为所求距离．…（8分）
由题设得DF∥PA，所以△BDE∽△BAP，即DF=

BD•PA

PB

，
又∵△BDA∽△BAP，∴

BD

AB

=

AB

PB

即BD=

AB2

PB

=

3

3

，∴BD=

1

3

PB．
∴DF=

2

3

．…（11分）
即点D到平面ABC的距离为

2

3

．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的性质与判定，考查点到面的距离，掌握线面垂直的性质与判定，作出点到面的距离的线段是关键．