Question

已知点A、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且，．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点M（0，t）且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，|BC|=2|AC|，且BC过椭圆M的中心O（0，0），知||=||．由点A的坐标为，且，知∠ACB=90°，C（，），由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）过点M的直线l，与椭圆M交于两点E，F；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则-2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得EF的中点H坐标，由|DP→|=|DQ→|，得由，知DH⊥EF，则k_DH=-，这样得等式②；由①②可得t的范围．
解答：解：（Ⅰ）如图，

∵，|BC|=2|AC|，且BC过椭圆M的中心O（0，0），
∴||=||．
∵点A的坐标为，且，
∴∠ACB=90°，C（，），
∵a=2，将a=2及C点坐标代入椭圆方程得，∴b²=4，
∴椭圆E的方程为：．
（Ⅱ）如图，
由题意，知D（0，-2），∵M（0，t），
∴1°当k=0时，-2＜t＜2，
 2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则
，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0，
由△＞0，可得t²＜4+12k²，①
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），且EF的中点为H（x，y），
则x==-，
，
∴H（-，），
由，∴DH⊥EF，则k_DH=-，
∴，
∴t=1+3k²，②
∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；
综上，得t∈（-2，4）．
点评：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．