Question

19.有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13 km，BC=10 km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处.（建立坐标系如图）

（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？

（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

19.

（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为f（y）

=2（25+y²）+（12－y）²=3（y－4）²+146，

所以，当y=4时，函数f（y）取得最小值.

答：点P的坐标是（0，4）.

 

（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为

g（y）=

由≥|12－y|解得y≥，记y^*=，于是

g（y）=  

因为 在［y^*，+∞）上是增函数，而|12－y|在（－∞，y^*]上是减函数，所以，当y=y^*时，函数g（y）取得最小值.

答：点P的坐标为（0，）.

解法二：P至三镇的最远距离为

g（y）=

由≥|12－y|解得y≥，记y^*=，于是

g（y）=

函数z=g（y）的图象如图（a），因此，当y=y^*时，函数g（y）取得最小值.

答：点P的坐标为（0，）.

解法三：因为△ABC中，AB=AC=13，且=12>5=OC，

∠ACB>，如图（b）.所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为（0， ），且AM=BM=CM.

当P在射线MA上，记P为P₁；

当P在射线MA的反向延长线上，记P为P₂.

这时P到A、B、C三点的最远距离为P₁C或P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.

答：点P的坐标为（0，）.