Question

求证：e^x≥x＋1.

Answer 1

证明:设f(x)=e^x-x-1,f′(x)=e^x-1.

(1)当x≤-1时,

x＋1≤0，e^x＞0.

∴e^x＞x＋1.

(2)当x=0时,

e^x=0，x＋1=0.

∴e^x=x＋1.

(3)当-1＜x＜0时,

f′(x)=e^x-1＜0,

∴f(x)=e^x-x-1在区间(-1，0)内是减函数.

∴f(x)＞f(0)=0.

∴e^x-x-1＞0.

∴e^x＞x＋1.

(4)当x＞0时,f′(x)=e^x-1＞0.

∴f(x)=e^x-x-1在区间(0，＋∞)内是增函数.

∴f(x)＞f(0)=0.

∴e^x-x-1＞0.

∴e^x＞x＋1.

综合(1)(2)(3)(4)可知对x∈R,

e^x≥x＋1成立.