Question

15、已知x∈R，求证：e^x≥x+1．

Answer 1

分析：首先构造函数f（x）=e^x-x-1，然后求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系进行证明．

解答：证明：设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．

点评：此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，掌握并会熟练运用导数与函数单调性的关系．