Question

在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是

4

15

，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则P(A)=

1

5

．
所以，P3(2)=

C

23

•(

1

5

)2•

4

5

=

12

125

．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为

12

125

．    …（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则P(B)=

C 23 + C 2n + C 27-n

C 210

=

6+n(n-1)+(7-n)(6-n)

90

=

4

15

，
整理得：n²-7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个．        …（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且P(ξ=2)=

C 24

C 210

=

2

15

，P(ξ=3)=

C 14 C 13

C 210

=

4

15

，P(ξ=4)=

C 13 C 14 + C 23

C 210

=

1

3

，P(ξ=5)=

C 13 C 13

C 210

=

1

5

，P(ξ=6)=

C 23

C 210

=

1

15

．
所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	2 15	4 15	1 3	1 5	1 15

所以，Eξ=2×

2

15

+3×

4

15

+4×

1

3

+5×

1

5

+6×

1

15

=

19

5

．…（13分）