题目内容

在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．
（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是 $数学公式$ ，求红球的个数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．

解：（Ⅰ）设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则 $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ ．
答：三次取球中恰有2个红球的概率为 $\text{[math]}$ ． …（4分）
（Ⅱ）设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 $\text{[math]}$ ，
整理得：n²-7n+12=0，解得n=3（舍）或n=4．
所以，红球的个数为3个． …（8分）
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

所以， $\text{[math]}$ ．…（13分）
分析：（Ⅰ）先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的概率；
（Ⅱ）根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是 $\text{[math]}$ 建立等式关系，求出n的值，从而求出红球的个数．
（Ⅲ）ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
点评：本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题的关键是正确利用公式求概率．