Question

2．已知函数f（x）=-x²+ax+3，x∈[-2，2]．
（1）当a=6时，求f（x）的最大值；
（2）a∈R，设f（x）的最大值为g（a），求g（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）当a=6时f（x）=-（x-3）²+12，x∈[-2，2]．由二次函数区间的最值可得；
（2）配方可得f（x）=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，分类讨论可得解析式，可得值域．

解答 解：（1）当a=6时f（x）=-x²+6x+3
=-（x-3）²+12，x∈[-2，2]．
由二次函数的性质可得函数在x∈[-2，2]单调递增，
∴当x=2时，函数取最大值11；
（2）配方可得f（x）=-x²+ax+3=-（x-$\frac{a}{2}$）²+3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当对称轴x=$\frac{a}{2}$≤-2即a≤-4时，g（a）=f（-2）=-1-2a，此时g（a）≥7；
当对称轴x=$\frac{a}{2}$≥2即a≥4时，g（a）=f（2）=-1+2a，此时g（a）≥7；
当-2＜$\frac{a}{2}$＜2即-4＜a＜4时，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=3+$\frac{{a}^{2}}{4}$，此时3≤g（a）＜7．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-2a，a≤-4}\\{3+\frac{{a}^{2}}{4}，-4＜a＜4}\\{-1+2a，a≥4}\end{array}\right.$，
∴g（a）的值域为[3，+∞）

点评 本题考查二次函数区间的最值，涉及分类讨论的思想和分段函数的值域，属中档题．