Question

（2011•嘉定区三模）在三棱锥A-BCD中，AD⊥面BCD，BD⊥CD，AD=BD=2，CD=2

3

，E是AC的中点．
（1）给出该三棱柱的主视图，请在指定位置画出它的左视图和俯视图；
（2）设E为AC的中点，求异面直线AB与DE所成角的大小（用反三角函数值表示）；

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，结合左视图和俯视图的定义作图．
（2）取BC中点F，连接DF、EF，则EF∥AB，所以∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角．在△DEF中，DE=2，DF=2，EF=

2

，由此能求出异面直线AB与DE所成角的大小．

解答：（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（7分），第2小题满分（7分）
解：（1）作图每张（3分），尺寸标示（1分）．

（2）取BC中点F，连接DF、EF，则EF∥AB，
所以∠DEF（或其补角）是异面直线AB与DE所成的角．…（9分）
在△DEF中，DE=2，DF=2，EF=

2

，…（10分）
所以cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2•DE•EF

=

4+2-4

2•2• 2

=

2

4

，
（或者cos∠DEF=

1 2 EF

DE

=

2 2

2

=

2

4

）…（13分）
所以∠DEF=arccos

2

4

，
即异面直线AB与DE所成角的大小为arccos

2

4

．…（14分）

点评：本题考查左视图和俯视图的法及求解异面直线AB与DE所成角的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．