题目内容

已知 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求sinαcosα、sinα-cosα的值；
（Ⅱ）求 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）由已知 sinα+cosα= $\text{[math]}$ …①，
①式平方得：1+2sinαcosα= $\text{[math]}$ …（2分）
∴sinαcosα= $\text{[math]}$ …②…（4分）
（sinα-cosα）²=sin²α-2sinα•cosα+cos²α
将②代入得：
（sinα-cosα）²= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$
∴sinα＜cosα
∴sinα-cosα=- $\text{[math]}$ …（6分）
（Ⅱ）
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（Ⅰ）利用诱导公式转化已知条件，通过平方同角三角函数的基本关系式，求sinαcosα，然后对sinα-cosα平方代入sinαcosα的值，利用角的范围即可求出sinα-cosα的值；
（Ⅱ）利用切化弦，同分把 $\text{[math]}$ 化简为（Ⅰ）所求出的值，代入求解即可．
点评：本题是中档题，考查三角函数的基本公式的应用，解题的关键是角的范围与三角函数的值的大小的比较，切化弦的应用．

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