Question

8．如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BCA=90°，且BC=CA=2，PC=PA．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）当PC的值为多少时，满足PA⊥平面PBC？并求出此时该三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BC⊥AC，再由平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且BC?平面ABC，得到BC⊥平面PAC，从而证得结论PA⊥BC；
（2）由（1）知PA⊥BC，只需PA⊥PC，就有PA⊥平面PBC，结合已知条件求出PC，进一步求出三棱锥P-ABC的体积．

解答 （1）证明：∵∠BCA=90°，∴BC⊥AC．
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且BC?平面ABC，
∴BC⊥平面PAC．
又PA?平面PAC．
∴PA⊥BC；
（2）解：由（1）知PA⊥BC，
故只需PA⊥PC，就有PA⊥平面PBC，
∵PC=PA，AC=2，
∴PC=$\sqrt{2}$．
此时，${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}•{S}_{△PBC}•AP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．