Question

18．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=a₅-a₁．
（1）求数列{a_n}的公比q的值；
（2）记b_n=log₂a_n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T₄=2b₅，求数列a₁的值．

Answer 1

分析 （1）对q分类讨论，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）由题意q取值为2，可得${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，可得数列{b_n}是一个公差为1的等差数列，即可得出．

解答 解：（1）由{a_n}是等比数列，则${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
由题知公比q≠1（否则与S₄=a₅-a₁矛盾），
则${S_4}=\frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}={a_1}{q^4}-{a_1}={a_1}（{{q^4}-1}）$，
所以$\frac{{（{1-{q^4}}）}}{1-q}-（{{q^4}-1}）=0$，则$（{1-{q^4}}）[{\frac{1}{1-q}+1}]=0$，
所以q⁴=1或$\frac{1}{1-q}=-1$，
解得q=-1或2；
（2）由题意q取值为2，
则${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，
所以数列{b_n}是一个公差为1的等差数列，
由T₄=2b₅得T₄=4b₁+6=2（b₁+4），
解之得b₁=1，
所以b₁=log₂a₁+1=1，即a₁=1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与就你死了，属于中档题．