Question

20．若函数f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$存在唯一的极值点，且此极值大于0，则（　　）

• A． 0≤a＜$\frac{1}{e}$
• B． 0≤a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$
• C． -$\frac{1}{e}$＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$
• D． 0≤a＜$\frac{1}{e}$或a=-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 先求导，再由f'（x）=0得到x=1或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（*），根据（*）无解和函数的极值大于0即可求出a的范围，

解答 解：f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-1）（ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
由f'（x）=0得到x=1或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x的方程（*）必无解，
①当a=0时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0时，由（*）得，a=-$\frac{1}{{e}^{x}{x}^{2}}$，∴a＞0
由于这两种情况都有，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，
当x＞1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，
∴x=1为f（x）的极值点，
∵f（1）=-ae+1＞0，
∴a＜$\frac{1}{e}$
综上可得a的取值范围是[0，$\frac{1}{e}$）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．