Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=(a，b)，

n

=(b，c)．
（Ⅰ）若向量

m

∥

n

求满足

3

sinB+cosB-

3

=0的角B的值；
（Ⅱ）若A-C=

π

3

，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若

m

•

n

=2b2，且A-C=

π

3

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的向量的坐标和向量的平行关系，写出三条边的关系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范围，根据

3

sinB+cosB-

3

=0求角B的值．
（Ⅱ）根据角A与角B的差是

π

3

，还有两角之和是π-B，得到角A和角B的关系，即得到关于他们的二元一次方程，解方程组得到结果．本题只起到一个铺垫作用．
（Ⅲ）根据两个向量的数量积的值，得到边之间的关系，a+c=2b，利用正弦定理把变化为角和第二问所得的结论，展开整理，得到关于角B的三角函数值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(a，b)，

n

=(b，c)，

m

∥

n

，
∴b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π

3

．
由

3

sinB+cosB-

3

=0
得：sin(B+

π

6

)=

3

2

，
∵B+

π

6

∈(

π

6

，

π

2

]，
∴B+

π

6

=

π

3

，∴B=

π

6

．
（Ⅱ）在△ABC中，∵A-C=

π

3

，A+C=π-B，∴A=

2π

3

-

B

2

，C=

π

3

-

B

2

（Ⅲ）∵

m

•

n

=2b2，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由A-C=

π

3

及（Ⅱ）的结论得：
∴sin(

2π

3

-

B

2

)+sin(

π

3

-

B

2

)=2sinB，
展开化简，得

3

cos

B

2

=2×2sin

B

2

cos

B

2

，
∵cos

B

2

≠0，∴sin

B

2

=

3

4

，
∴cosB=1-2sin2

B

2

=1-

3

8

=

5

8

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函数关系，是一个综合题，也是近几年经常出现的一种问题．