题目内容
如图，在三棱柱
中，
，顶点
在底面
上的射影恰为点
，
．
（1）证明：平面
平面
；
（2 ）若点
为
的中点，求出二面角
的余弦值．
（1）证明：平面平面；
（2）若点
为的中点，求出二面角的余弦值．
（1）证明详见解析；（2）
解析试题分析：（1）根据直线与平面垂直的性质可得
,而已知
，由直线与平面垂直的判定定理可得
面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面；
(2) 过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,由（1）可知P1A1
,连接P1B,则
为二面角
的平面角， 解
可得cos的值.
试题解析：证明：（1）由题意得：
面
，
∴, 2分
又，
∴面， 3分
∵
面
， ∴平面平面； 5分
（2）解法1：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
因为P为棱
的中点，故易求得
． 6分 
设平面
的法向量为
则
得
令
，则 
8分
而平面
的法向量
9分
则
11分
由图可知二面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值是
. 12分
解法2：过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,由（1）可知P1A1,连接P1B,则为二面角的平面角， 8分
在中，
，
，
故二面角的平面角的余弦值是 12分
考点：1.直线与平面垂直的性质；2.平面与平面垂直的判断和性质；3.二面角.
练习册系列答案
相关题目
中，
，
为
中点，
上一点，且
.
时，求证：
平面
；
与平面
所成的角为
，求
的值.
是母线
的中点，
是底面圆的直径，底面半径
与母线
所成的角的大小等于
．
时，求异面直线
与
所成的角；
的体积最大时，求
中，底面
是平行四边形，
，
平面
，
，
是
的中点.
平面
； 
为坐标原点，射线
、
、
分别是
轴、
轴、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得
是平面
的法向量，求平面
与平面
底面ABCD，
，E是PA的中点.
平面EBD；
？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由
关于直线
对称，
．把
沿
折起（如图二），使二面角
的余弦值等于
．对于图二，完成以下各小题：
两点间的距离；
平面
；
所成角的正弦值．