Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n∈N⁺），数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n∈N⁺，均有T_n＞，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n=1时，可求得a₁=S₁=8；当n≥2时，可求得a_n=S_n-S_n-1=-2n+10，检验后知n=1时适合，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=10-2n，利用裂项法可求得b_n=（-），从而T_n=（1-），T_n＞恒成立?（T_n）_min＞，当n=1时，（T_n）_min=，从而通过解不等式＞即可求得m的取值范围．
解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=9n-n²-（-n²+11n-10）=-2n+10…（5分）
又a₁=S₁=8，适合上式 …（6分）
所以a_n=10-2n（n∈N^*）…（7分）
（2）因为b_n==（-）…（10分）
所以T_n=（1-+-+…+-）=（1-）…（12分）
又因为对任意的n∈N^*，T_n＞恒成立，
所以（T_n）_min＞…（13分）
因为当n=1时，（T_n）_min=，所以＞…（14分）
解之得1＜m＜2 …（16分）
点评：本题考查数列的求和，着重考查裂项法求和与函数恒成立问题，考查推理分析与抽象思维能力，属于难题．