Question

已知函数，，，其中且.
（I）求函数的导函数的最小值；
（II）当时，求函数的单调区间及极值；
（III）若对任意的，函数满足，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（I），其中.
因为，所以，又，所以，
当且仅当时取等号，其最小值为. ……………………………4分
（II）当时，，.
………………………………………………………..6分
的变化如下表：

		0		0

所以，函数的单调增区间是，；单调减区间是.
函数在处取得极大值，在处取得极小值.
（III）由题意，.
不妨设，则由得.  ……………12分
令，则函数在单调递增.
在恒成立.
即在恒成立.
因为，因此，只需.
解得. 
故所求实数的取值范围为

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。