Question

等差数列{a_n}中a₃=7,a₁+a₂+a₃=12，记为{a_n}的前n项和,令b_n=a_na_n+1,数列的前n项和为T_n.(1)求a_n和S_n；(2)求证：T_n<；(3)是否存在正整数m , n ，且1<m<n ，使得T₁ , T_m , T_n成等比数列？若存在，求出m ,n的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) S_n=   (Ⅱ) 略 （Ⅲ）m=2,n=16

解（1）设数列的公差为，由
,.
解得，="3 " …2分∴; ……3分 S_n=  4分
(2)          
∴       ……………………… 6分
∴                   =  … 8分  …… 9分
(3)由(2)知，   ∴，
∵成等比数列.∴     即…… 11分
当m=1时，7，=1，不合题意；
当m=2时，，=16，符合题意；
当m=3时，，无正整数解；
当m=4时，，无正整数解；
当m=5时，，无正整数解；
当m=6时，，无正整数解；…… 14分(少讨论一个扣0.5分)
当m≥7时， ,
则，而，
所以，此时不存在正整数m,n,且7<m<n,使得成等比数列.……15分
综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比数列.… 16分